易错点排雷 / 核心考点梳理
基于真实错题与笔记提取
在一组学生中，学习艺术、音乐和戏剧的男生和女生的人数如下表所示。这160名学生每人只学习其中一门课程。
| Art | Music | Drama | |
|---|---|---|---|
| Boys | 24 | 40 | 32 |
| Girls | 15 | 12 | 37 |
随机选择三名学生，求恰好有1人学习音乐且恰好有2人是男生的概率。
Case 1: music-boy + non-music-boy + non-music-girl
$$
\frac{40C1 \times 56 \times 52}{160C3}
$$
Case 2: non-music-boy 2 + music-girl
$$
\frac{56C2 \times 12}{160C3}
$$
将两个情况相加得到：$ \frac{1687}{8374} = 0.201 $
假设成功概率为 $ p $
✅ 第一次成功在第五次
$$
(1 - p)^4 p
$$
✅ 第一次成功在第五次之后
$$
(1 - p)^5
$$
✅ 第一次成功在第五次之前
$$
1 - (1 - p)^4
$$
✅ 第二次成功在第五次
$$
(1 - p)^3 p \times (4C1) \times p
$$
✅ 第二次成功在第五次之后【有点难】
$$
(1 - p)^4 p \times (5C1) + (1 - p)^5
$$
✅ 前七次成功了 3 次或以上
$$
1 - (1 - p)^7 - 7C1 p^1 (1 - p)^6 - 7C2 p^2 (1 - p)^5
$$
✅ 注意表格时候比如 $1-5$，$6-10$，画 histogram，要 $0.5-5.5$
✅ Cumulative 的时候，注意 $33\%$ 大于的时候，你对应要找 $67\%$ 的 $n$ 的值。
✅ 条件概率 independent，有两种检测
$\diamondsuit\ P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$；
$P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = P(A)$
✅ Normal approximation 时候，注意大于 $x$，就是对于 $z$ 而言，大于 $x + 0.5$
✅ 查表注意使用小表
✅ 加油仔细，S1 一定可以拿下！
从单词 SHOPKEEPER 中选出四个字母。
求包含恰好一个 P 的不同选择数。
SOL: 这里要分类讨论，因为如果直接8选3，考虑E的数量，会有重复！
→ 总共：26 种
Raman 和 Sanjay 是一个由9名成员组成的问答团队的成员。需要拍摄两张照片。
(d) 对于随机分成一个5人组和一个4人组的情况，求 Raman 和 Sanjay 在同一组的概率。
SOL: 算概率时，分子是几 C 几，分母也是几 C 几
此处简单分类两人在不同组：
$$\begin{aligned}&= \frac{7C3 + 7C2}{9C5} \ &= \frac{35 + 21}{126} \ &= \frac{56}{126} \ &= 0.444\end{aligned}$$
求将单词 CROCODILE 中的9个字母分成三个组，每组包含三个字母，且两个 C 必须在不同组中的方法数。
SOL: 经典鳄鱼！注意讨论 OO 分组，因为 OO 重复不能直接选。
同时注意类似 COX 和 COX 的重复！！
最后答案 65，注意标签错误！
| 分类 | 情况 | 计算 |
|---|---|---|
| COX COX XXX | $5C1 \times 4C1 \div 2$ | |
| CXX COO XXX | $5C2$ | |
| CXX CXX OOX | $5C2 \times 3C2 \div 2$ | |
| COX CXX OXX | $5C1 \times 4C2$ |
注：最终结果为 65，但需注意题目中可能存在的标签错误。
单词 ALLIGATOR 中的9个字母随机排列。
求两个 L 相邻且两个 A 之间恰好有6个字母的概率。
注意： A _ _ _ _ _ _ A 整体8个一快的排列位置，有两种
然后这里注意，LL在一起就必须在里面了，所以LL当一种。外面剩下5种选择，里面就捆绑后还有5种选择排序。
【多限制条件就多分析】
接下来分子是排序，分母必须也是排序。
$$\begin{aligned}&= \frac{2 \times 5 \times 5!}{9!} \ &= \frac{2 \times 5 \times 120}{362880} \ &= \frac{1200}{362880} \approx 0.0132\end{aligned}$$
求单词 CASABLANCA 中的10个字母的不同排列数，使得第一个字母是 A，最后一个字母是 A，并且两个 C 之间恰好有3个字母。
这里和上面不同在于，因为C和C之间和外面没有什么限制，所以可以无视C和C
【无限制条件就可以忽略 CC 内外差距】 所以直接剩下6个排序，然后 C _ _ _ C 是5个，相当于4个地方可以放。
$$\begin{aligned}&= \frac{6!}{2!} \times 4 \ &= 720 / 2 \times 4 \ &= 360 \times 4 \ &= 1440\end{aligned}$$
八个数字 1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5 排成一行。
(b) 求这些数字的不同排列数，使得第一个和最后一个数字都是2，并且三个4不全在一起。
注意： 【not all together 和 not close to each other 的区别】
前者（not all together）： $$\begin{aligned}&= \frac{6!}{3!} - 4! \ &= 120 - 24 \ &= 96\end{aligned}$$
后者（not close to each other）： 实际上就是 1_3_5 四个空插3个4，即： $$\begin{aligned}&= 3! \times \binom{4}{3} \ &= 6 \times 4 \ &= 24\end{aligned}$$
求单词 REGENERATE 中的10个字母随机排列时，辅音（G, N, R, R, T）和元音（A, E, E, E）交替排列，使得没有两个辅音相邻且没有两个元音相邻的概率。
注意： alternate 代表 ABABAB 形式，那么先元后辅和先辅后元有个区别，然后就是元、辅本身的排序即可
两种交替方式：先元后辅 或 先辅后元 → $2$ 种
总有利情况数： $$\begin{aligned}&= 2 \times \frac{5!}{2!} \times \frac{4!}{3!} \ &= 2 \times 60 \times 4 \ &= 480\end{aligned}$$
但原题中写的是： $$\begin{aligned}&= 2 \times \frac{5!}{2!} \times \frac{5!}{4!} \ &= 2 \times 60 \times 5 \ &= 600\end{aligned}$$
→ 可能是笔误或理解差异，但按标准计算应为：
$$\begin{aligned}&= P \ &= \frac{600}{\frac{10!}{4! \cdot 2!}} \ &= \frac{600}{\frac{3628800}{24 \cdot 2}} \ &= \frac{600}{75600} \approx 0.0079\end{aligned}$$