EDX P3/P4 核心易错点

分式值域 & 定义域

本节将讨论分式的值域和定义域，包括带有三角函数的分式。

普通分式求值域

Case 1：普通分式求值域

$$\begin{aligned}&= f(x) \ &= \frac{2 + 2x}{x - 4},\quad x > 4\end{aligned}$$

求值域。

SOL：利用尾巴式（长除）！然后观察增减

$$\begin{aligned}&= f(x) \ &= \frac{2 + 2x}{x - 4} \ &= 2 + \frac{10}{x - 4},\quad x > 4\end{aligned}$$

• 随着 $x$ 增大，分母越大，分数值越小。
• 在 $x$ 趋近 4 的时候，分母无限小，分数值无穷大。

所以值域为 $(2, \infty)$

三角分式求值域

Case 2：三角分式求值域

$$\begin{aligned}&= f(x) \ &= \frac{3}{2 + \sin^2(x)},\quad\quad g(x) \ &= \frac{3}{2 + \sin(x) + \cos(x)}\end{aligned}$$

求值域。

SOL：对于求值域，利用 $\sin^2(x)$ 在 $[0,1]$ 波动
以及合一公式： $$\begin{aligned}&= \sin(x) + \cos(x) \ &= \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\end{aligned}$$

• 可知，$f(x)$ 在 $\frac{3}{2}$ 和 $\frac{3}{3}$ 之间波动，
• $g(x)$ 在 $\frac{3}{2 - \sqrt{2}}$ 和 $\frac{3}{2 + \sqrt{2}}$ 之间波动

Inverse chain-rule 积分

非常经典积分！！不要背公式！一定要领悟原理。Inverse chain rule 是高数非常常见的积分技巧！

基础类

Case 1：基础类

• $\displaystyle \int \frac{x}{(x^2+2)^3} \, dx = \frac{(x^2+2)^{-2}}{-2 \times 2}$

思路：注意 $x$ 是 $x^2$ 的导，所以可以自动带出来，搞出 -3 次的积分即可～

• $\displaystyle \int e^{x^3} x^2 \, dx = \frac{e^{x^3}}{3}$

思路：注意 $x^2$ 是 $x^3$ 的导，所以可以自动带出来，搞出 $e$ 的积分即可～

进阶类

Case 2：进阶类

$$\begin{aligned}\int (\cos x)^3 \, dx &= \sin x - \frac{(\sin x)^3}{3} \quad \text{[利用 sin 方 cos 方转化]} \int \frac{1}{e^x + 1} \, dx \ &= x - \ln(e^x + 1) \quad \text{[利用 1 减]} \int \frac{1}{x \ln x} \, dx \ &= \ln(\ln x) \int (\sec x)^4 \, dx \ &= \tan x - \frac{(\tan x)^3}{3} \quad \text{[利用 sec 方 tan 方转化]} \int \frac{\arctan(x)}{1 + x^2} \, dx \ &= \frac{(\arctan x)^2}{2} \int \frac{1}{x \sqrt{1 + \ln x}} \, dx \ &= 2\sqrt{1 + \ln x}\end{aligned}$$

其余重要事项

1. 一定要熟记二倍角公式和合一公式

因为后续 P3 和 P4 的积分都会用到！而且公式纸都没有！

The double-angle formulae are: - $\sin 2A \equiv 2\sin A \cos A$ - $\cos 2A \equiv \cos^2 A - \sin^2 A \equiv 2\cos^2 A - 1 \equiv 1 - 2\sin^2 A$ - $\tan 2A \equiv \dfrac{2\tan A}{1 - \tan^2 A}$

For positive values of $a$ and $b$, - $a\sin x \pm b\cos x$ can be expressed in the form $R\sin(x \pm \alpha)$ - $a\cos x \pm b\sin x$ can be expressed in the form $R\cos(x \mp \alpha)$

with $R > 0$ and $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ (or $\dfrac{\pi}{2}$)
where $R\cos\alpha = a$, $R\sin\alpha = b$ and $R = \sqrt{a^2 + b^2}$

1. Inverse sin 和 Inverse cos 的图像，特别是 range 要记住，可能真题要求画图！

2. 一定要牢记

$$\begin{aligned}&= \sec(x)^2 \ &= 1 + \tan(x)^2 \csc(x)^2 \ &= 1 + \cot(x)^2\end{aligned}$$

不仅 P3 会考，P4 要考，高数继续不断考这些变化，笔面试也考。

1. 小心三角函数多解

2. 最容易忽略的变化： $$\begin{aligned}&= \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \ &= \cos(x)\end{aligned}$$

图像中的交点数量变化

平移类，旋转类图像变化时交点数量的变化。需要常常考虑斜率和判别式的因素。

直线类

Case 1：直线类

24 The function $ p $ is defined by:
$$ p: x \mapsto -2|x + 4| + 10 $$ The diagram shows a sketch of the graph.

a) State the range of $ p $.
(1 mark)

b) Give a reason why $ p^{-1} $ does not exist.
(1 mark)

c) Solve the inequality $ p(x) > -4 $.
(4 marks)

d) State the range of values of $ k $ for which the equation
$$\begin{aligned}&= p(x) \ &= -\frac{1}{2}x + k\end{aligned}$$ has no solutions.
(4 marks)

SOL: d 小问中，$ k $ 取直线正好可以碰到函数顶点的极限情况即可

（注意：若题目改为固定一个点，例如过点 $ (0, 4) $ 的直线斜率为多少时候没有交点，则除了碰到顶点的极限值以外，斜率必须大于 $-2$。）

曲线类

Case 2：曲线类

若函数 $ f(x) = x^2 $，过点 $ (1, 0) $ 的直线，斜率为多少时候没有交点？

SOL：经典联立

$$\begin{aligned}&= x^2 \ &= k(x - 1)\end{aligned}$$

利用判别式：
$$\begin{aligned}&= \Delta \ &= k^2 - 4k < 0\end{aligned}$$ 解出 $ k $ 的范围即可。

（和 P2 中圆外一点和圆相切一样）

Ln 和 Ex 的 modeling

Ln 和 Ex 的 modeling 难度始终，但是要注意 x 轴的量是谁，以及每个参数对应的数学概念。

lny 对 x

Case 1：lny 对 x

The graph represents the growth of a population of bacteria, $ P $, over $ t $ hours. The graph has a gradient of 0.6 and meets the vertical axis at (0, 2) as shown.

A scientist suggests that this growth can be modelled by the equation $ P = ab^t $, where $ a $ and $ b $ are constants to be found.

a Write down an equation for the line.
b Using your answer to part a or otherwise, find the values of $ a $ and $ b $, giving them to 3 significant figures where necessary.
c Interpret the meaning of the constant $ a $ in this model.

解答：

• a $ \log P = 0.6t + 2 $
• b $$\begin{aligned}&= P \ &= 10^{0.6t + 2} \ &= 10^{0.6t} \times 10^2 \ &= 10^2 \times (10^{0.6})^t \ &= 100 \times 3.98^t\end{aligned}$$ 所以： $$\begin{aligned}&= a \ &= 100,\quad b \ &= 3.98 \text{ (3 s.f.)}\end{aligned}$$
• c The value of $ a $ gives the initial size of the bacteria population.

解题要点（右侧提示框）：

• 首先写出直线方程 $ y = 0.6x + 2 $。再把 $ y $ 和 $ x $ 替换成各自坐标轴的量。
• 再两边同时开 10 的次数（log 默认以 10 为底）。
• 要注意，格式最后必须是 $ b^t $，所以来利用指数函数，把 $ 10^{0.6t} $ 进行处理变成 $ (10^{0.6})^t $。
• $ P = ab^t $ 中，$ a $ 永远代表初始值，$ b $ 代表单位时间内变化比值。

lny 对 lnx

Case 2：lny 对 lnx

假设同样的直线 $ \log y = 0.6 \log t + 2 $，则有：

$$\begin{aligned}&= y \ &= 10^{0.6 \log t + 2} \ &= 10^{0.6 \log t} \times 10^2 \ &= \left(10^{\log t}\right)^{0.6} \times 10^2 \ &= t^{0.6} \times 10^2\end{aligned}$$

总结：
在对数建模中，关键是识别横纵轴变量，并正确转换回原始函数形式。
- 若是 $ \log y $ 对 $ x $：得到 $ y = a b^x $ 形式
- 若是 $ \log y $ 对 $ \log x $：得到 $ y = a x^b $ 形式

务必关注变量替换和指数运算规则。

Dx/Dy

在书上只有短短一页！核心是 $ \frac{dy}{dx} $ 和 $ \frac{dx}{dy} $ 互为倒数，但是容易考，而且丢分率很高！

利用 sin 和 cos 关系

Case 1：利用 sin 和 cos 关系

$$\begin{aligned}&= f(x) \ &= \arcsin(x)\end{aligned}$$

求导数

SOL： $ x = \sin(y) $，则有

$$\begin{aligned}&= \frac{dx}{dy} \ &= \cos(y) \frac{dy}{dx} \ &= \frac{1}{\cos(y)} \ &= \frac{1}{\sqrt{1 - \sin(y)^2}} \frac{dy}{dx} \ &= \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\end{aligned}$$

利用 tan 和 sec 类关系

Case 2：利用 tan 和 sec 类关系

$$\begin{aligned}&= f(x) \ &= \arctan(x)\end{aligned}$$

求导数

SOL： $ x = \tan(y) $，则有

$$\begin{aligned}&= \frac{dx}{dy} \ &= \sec(y)^2 \frac{dy}{dx} \ &= \frac{1}{\sec(y)^2} \ &= \frac{1}{1 + \tan(y)^2} \frac{dy}{dx} \ &= \frac{1}{1 + x^2}\end{aligned}$$

反函数 Inverse

2023 年 5 月考到了反函数和原函数的交点，近年首次。CIE 也最近越来越多考察正负根号的变化！

求反函数与原函数交点

Case 1：求反函数与原函数交点

$$\begin{aligned}&= f(x) \ &= x^2 - 3,\ x > 0\end{aligned}$$

求 $ f(x) $ 和 $ f^{-1}(x) $ 的交点。

SOL： 因为 $ f(x) $ 和 $ f^{-1}(x) $ 图像关于 $ y = x $ 对称，
所以交点必然在 $ y = x $ 上。
因此，$ f(x) $ 和 $ f^{-1}(x) $ 相交可转化为 $ f(x) $ 与 $ y = x $ 的交点。

解： $$\begin{aligned}&= x^2 - 3 \ &= x\end{aligned}$$

反函数取正负号

Case 2：反函数取正负号

$$\begin{aligned}&= f(x) \ &= x^2 + 7,\ x < 0\end{aligned}$$

求 $ f^{-1}(x) $

SOL： 显然我们可得：

$$\begin{aligned}&= x \ &= y^2 + 7 \ y \ &= \pm \sqrt{x - 7}\end{aligned}$$

注意：反函数的 range 等于原函数的 domain，反函数的 domain 等于原函数的 range。

此处，range 应为 $ y < 0 $，所以取负号。

同时！别忘了自动写上 $ x > 7 $ 的 domain 要求。